Mise en œuvre de la méthode d'Euler - Exemple

Exemple

Appliquons la méthode d’Euler avec un pas \(\color{red}{h=0{,}1}\) pour obtenir une approximation graphique de la primitive \(F\) de la fonction \(f:x\mapsto \dfrac{1}{x}\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) et qui s’annule en \(1\).
Notons que nous ne pouvons pas déterminer algébriquement cette primitive à partir des fonctions usuelles du programme de première.

On se place dans un repère du plan. 
Sachant que la primitive \(F\) cherchée vérifie la condition initiale \(F(\color{blue}{1})=\color{green}{0}\), sa courbe représentative passe par le point \(\text{M}_0(\color{blue}{1}\,;\color{green}{0})\).

Étape 1 
\(\color{blue}{x_1}=x_0+\color{red}{h}=1+0{,}1=1{,}1\)
\(\color{green}{y_1}=F(1{,}1)≈F(1)+\color{red}{0,1}\times f(1)\) soit \(\color{green}{y_1} \approx 0+\color{red}{0{,}1}\times\dfrac11 = 0{,}1\)
On obtient un premier point \(\text{M}_1(\color{blue}{1{,}1}\,;\color{green}{0{,}1})\) proche de la courbe de \(F\).

Étape 2 
\(\color{blue}{x_2}=x_1+\color{red}{h}=1{,}1+\color{red}{0{,}1}=1{,}2\)
\(\color{green}{y_2}=F(1{,}2)≈F(1{,}1)+\color{red}{0{,}1}\times f(1{,}1)\) soit \(\color{green}{y_2} \approx 0{,}1+\color{red}{0{,}1}\times\dfrac{1}{1{,}1} = 0{,}19\)
Le point suivant a pour coordonnées \(\text{M}_2(\color{blue}{1{,}2}\,;\color{green}{0{,}19})\).

Étape 3 
\(\color{blue}{x_3}=x_2+\color{red}{h}=1{,}12+0{,}1=1{,}3\)
\(\color{green}{y_3}=F(1{,}3)≈F(1{,}2)+\color{red}{0{,}1}\times f(1{,}2)\) soit \(\color{green}{y_3} \approx 0{,}19+0{,}1\times\dfrac{1}{1{,}3} = 0{,}27\)
Le point suivant a pour coordonnées \(\text{M}_3(\color{blue}{1{,}3}\,;\color{green}{0{,}27})\).

On peut continuer ce processus à l’aide d’un tableur, pour générer automatiquement la suite de points \((\color{blue}{x_n}\,;\color{green}{y_n})\) et ainsi tracer une approximation graphique de la courbe de \(F\).

En classe de terminale, vous verrez que cette fonction \(F\) correspond à la fonction logarithme népérien, notée \(\ln\).

Le fichier de géométrie dynamique suivant permet de visualiser le nuage de points obtenu par la méthode d’Euler. 
À l’aide du curseur, vous pouvez choisir différentes valeurs du pas `h` pour observer l’effet sur l’approximation. Vous pouvez également afficher la courbe de la fonction logarithme népérien, qui constitue la solution exacte au problème traité.